Question

13．设a_n（n=2，3，4，…）是${（3-\sqrt{x}）^n}$的展开式中含x项的系数，则$\frac{1}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{9}{a_4}+…+\frac{{{3^{2011}}}}{{{a_{2013}}}}$的值等于  （　　）

• A． 2012
• B． $\frac{4024}{2013}$
• C． $\frac{2013}{1006}$
• D． 2013

Answer 1

分析 含x项的系数a_n =${C}_{n}^{2}$•3^n-2，化简要求的式子，用裂项法求和，属于基础题．

解答 解：根据${（3-\sqrt{x}）^n}$的展开式的通项公式 ${C}_{n}^{r}$•3^n-r•（-1）^r•${x}^{\frac{r}{2}}$，令r=2，故含x项的系数a_n =${C}_{n}^{2}$•3^n-2．
则$\frac{1}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{9}{a_4}+…+\frac{{{3^{2011}}}}{{{a_{2013}}}}$=1+$\frac{3}{{C}_{3}^{2}•3}$+$\frac{9}{{C}_{4}^{2}•9}$+…+$\frac{{3}^{2011}}{{C}_{2013}^{2}{•2}^{2011}}$=1+$\frac{1}{{C}_{3}^{2}}$+$\frac{1}{{C}_{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{C}_{2013}^{2}}$=1+2[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$）]
=1+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2013}$）=$\frac{4024}{2013}$，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，用裂项法求和，属于基础题．