Question

17．已知函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-a
（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（2）若f（x）＞a恒成立，求a的取值范围；
（3）若y=f（x）+a²恒有负值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）＜0，解不等式，即可求x的取值范围；
（2）若f（x）＞a恒成立，x²-（2a-1）x+a²-2a＞0，利用△=（2a-1）²-4（a²-2a）＜0，即可求a的取值范围；
（3）若y=f（x）+a²恒有负值，x²-（2a-1）x+2a²-a＜0有解，利用△=（2a-1）²-4（2a²-a）≥0，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-（2a-1）x+a²-a＜0
∴[x-（a-1）]（x-a）＜0，
∴a-1＜x＜a；
（2）f（x）=x²-（2a-1）x+a²-a＞a
∴x²-（2a-1）x+a²-2a＞0，
∴△=（2a-1）²-4（a²-2a）＜0，
∴a＜-$\frac{1}{4}$；
（3）∵y=f（x）+a²恒有负值，
∴x²-（2a-1）x+2a²-a＜0有解，
∴△=（2a-1）²-4（2a²-a）≥0
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．