Question

8．已知双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为双曲线右支上一点，若|PF₁|²=8a|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． （0，3）
• D． （0，3]

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，得到n=2a，m=4a，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出2c≤6a，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，
∴m-n=2a，m²=8an，
∴$\frac{m-n}{{m}^{2}}$=$\frac{2a}{8an}$，
∴m²-4mn+4n²=0，
∴m=2n，
∴n=2a，m=4a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
∴2c＜4a+2a，
∴$\frac{c}{a}$＜3，
当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤3，
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案．