题目内容

16．某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每 位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．
（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们 排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；
（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．

分析 （I） 四中机器人的总的排序为${A}_{4}^{4}$，A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．
（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{4}^{4}}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$，P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$，即可得出．

解答 解：（I） A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．
因此概率P=$\frac{{A}_{2}^{2}•{A}_{2}^{2}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{6}$．
（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{4}^{4}}$=$\frac{4}{256}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$=$\frac{84}{256}$，P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{24}{256}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$=.$\frac{144}{256}$
∴

 ξ 1 2 3 4
 P $\frac{4}{256}$ $\frac{84}{256}$ $\frac{144}{256}$ $\frac{24}{256}$
∴E（ξ）=1×$\frac{4}{256}$+2×$\frac{84}{256}$+4×$\frac{24}{256}$+3×$\frac{144}{256}$=$\frac{175}{64}$．

点评 本题考查了排列与组合的计算公式、相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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不优秀
合计
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k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
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