Question

5．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a+{2^{-x}}，\;\;\;x≤0\\ f（x-1），\;x＞0\end{array}$，记g（x）=f（x）-x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（-2，+∞）．

Answer 1

分析 由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=2^1-x+a，依题意，得方程2^1-x=x-a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=2^1-x与y=x-a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．

解答 解：∵x＞0时，f（x）=f（x-1）
∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，
设x＜1，则x-1＜0，
f（x）=f（x-1）=2^1-x+a；
即x＜1，f（x）=2^1-x-a，
∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴方程2^1-x=x-a有且仅有两解，
在同一坐标系中作出y=2^1-x与y=x-a图象如右图：
∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x-a介于图中蓝色直线下方即可．
依f（x）=2^1-x可求出A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，2），
∵A，B两点均为虚点，
∴-2＜a．
故答案为：（-2，+∞）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查函数的周期性的应用，作图是关键，也是难点，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，属于难题．