在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin=$\sqrt{2}$.曲线C2的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$acos．(I)求直线.与曲线C1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$acos（θ-$\frac{3π}{4}$）（a＞0）．
（I）求直线，与曲线C₁的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．
（Ⅱ）若直线l与C₂相切，求a的值．

分析（Ⅰ）根据C₁的参数方程和直线的极坐标方程便可得出它们的直角坐标方程，联立形成方程组即可求出l与C₁的直角坐标交点，再化成极坐标交点即可；
（Ⅱ）可写出曲线C₂的直角坐标方程，配方得到（x+a）²+（y-a）²=2a²，从而根据直线和圆相切时圆心到直线距离和半径的关系即可建立关于a的方程，解出a即可．

解答解：（Ⅰ）曲线C₁的普通方程为y=x²，$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，直线l的普通方程为x+y=2；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）；
故直线l与曲线C₁的直角坐标为（1，1），其极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$；
（Ⅱ）曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²+2ax-2ay=0，即：
（x+a）²+（y-a）²=2a²（a＞0）；
由曲线l与C₂相切，得$\frac{|-a+a-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}a$；
∴a=1．