Question

18．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点（0，4）离心率为$\frac{3}{5}$
（1）求C的方程；  
 （2）求过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被C所截线段中点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：b=4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点（0，4），则b=4-------------（2分）
椭圆离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，则a=5，------------------（3分）
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；--------------------------（5分）
（2）过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线方程为y=$\frac{4}{5}$（x-3），--------（6分）
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=$\frac{4}{5}$（x-3）代入C的方程，得x²-3x-8=0，解得-------------------------（8分）
x₁=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，----------------------（9分）
∴AB的中点M（x₀，y₀）坐标x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，---------------------（10分）
y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{2}{5}$（x₁+x₁-6）=-$\frac{6}{5}$，--------------（11分）
即中点为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．--------------------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．