Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，0＜β＜α＜π．
（1）若$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$，求$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角θ的值；
（2）设$\overrightarrow c=（0，1）$，若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的坐标减法运算求得$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，再由$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$，两边平方后整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=0，即$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，从而得到$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为90°；
（2）由向量相等的条件可得$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0①}\\{sinα+sinβ=1②}\end{array}\right.$，结合平方关系及角的范围即可求得α，β的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，
得$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）$，
由$|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}={（cosα-cosβ）^2}+{（sinα-sinβ）^2}$=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得：cosαcosβ+sinαsinβ=0，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{2}$；
（2）由$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1）$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0①}\\{sinα+sinβ=1②}\end{array}\right.$，①²+②²得：$cos（α-β）=-\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜α＜π，
∴0＜α-β＜π，
∴$α-β=\frac{2π}{3}$，$α=\frac{2π}{3}+β$，
代入②得：$sin（\frac{2π}{3}+β）+sinβ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosβ+\frac{1}{2}sinβ=sin（\frac{π}{3}+β）=1$，
∵$\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}+β＜\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}+β=\frac{π}{2}$，得β=$\frac{π}{6}$，$α=\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$．
综上所述，$α=\frac{5π}{6}$，$β=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量相等的条件，训练了三角函数的化简求值，是中档题．