Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）的对称轴及对称中心．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的对称轴及对称中心．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x$+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，k∈Z$；
（3）令$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z
可得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴对称轴$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
令$2x+\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
得：x=$-\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$
∴对称中心$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．