Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线 （为参数， ），直线与曲线相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程及点的极坐标；

（2）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于在，两点，记的面积为，的面积为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；点的极坐标为；（2）16.

【解析】

（1）直接利用消去参数法，将参数方程转化为直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程转换为极坐标方程，即可求出曲线和直线的极坐标方程，联立方程组，通过求出，从而可求出点的极坐标；

（2）利用互化公式求出的极坐标方程，设，，将代入的极坐标方程，根据韦达定理求出，，进而求出和，从而可求出的值.

解：（1）已知曲线为参数），

消去参数，可得曲线的直角坐标方程为，

将代入得的极坐标方程为，

由于直线为参数，，

可得的极坐标方程为（），

由于直线与曲线相切于点，

将代入曲线，得，

则，得，

又，所以，则，

此时，所以点的极坐标为.

（2）由于的直角坐标方程为，则圆心，

则的极坐标方程为：，

设，，

将代入的极坐标方程，

得，，

所以，，所以，，

又因为，

，

所以.