Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，若线段，的中点分别为，，直线与轴的交点为，求点到直线与距离和的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）直线方程和抛物线方程联立，可得由利用韦达定理求得即可得出结果.

（2）由（1）中韦达定理可求得点坐标为，直线，且均过焦点为，可求，进而求得直线的方程，得到的坐标为（3，0），设点到直线和的距离分别为，，由利用基本不等式性质，即可求得结果.

解：（1）由已知得，

直线:与联立消，得.

设，，则，.

由，得，

即，得，

所以或.

所以直线的方程为或

（2）由（1）知，所以，所以.

因为直线过点且，所以用替换得.

当时，:，

整理化简得，

所以当时，直线过定点（3，0）；

当时，直线的方程为，过点（3，0）.

所以点的坐标为（3，0）

设点到直线和的距离分别为，，由，，得.

因为，所以，当且仅当时，等号成立,

所以点到直线和的距离和的最大值为.