Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)法一：将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将化为极坐标方程，根据对称关系将上的点用上的点坐标表示出来，代入极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用和的极坐标方程与的极坐标方程经坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.

(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，

设曲线上任意一点关于直线对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

法二：由题可知，的极坐标方程为： ，

设曲线上一点关于 的对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：

设，

所以解得，解得

因为：，所以

当即时，，取得最大值为：