Question

【题目】已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段， 的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）过定点，（3）4

【解析】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数，进而求出；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）前提条件下，先求出，然后建立面积关于变量的函数，再运用基本不等式求其最小值：

解：（Ⅰ）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.

∵，∴抛物线方程为：

（Ⅱ）设两点坐标分别为，则点的坐标为.

由题意可设直线的方程为.

由，得.

.

因为直线与曲线于两点，所以.

所以点的坐标为.

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，整理得.

于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点.

综上所述，直线恒过定点.

（Ⅲ）可求得.所以面积.

当且仅当时，“ ”成立，所以面积的最小值为4.