Question

8．给出下判命题．
①命题“存在x＞0，使sinx≤x”的否定是“对任意x＞0，sinx＞x”
②函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π））的最小值是2$\sqrt{2}$
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形
④若直线m∥直线n，直线m∥平面α，那么直线n∥平面α．
其中正确的命题是①③．

Answer 1

分析 ①根据含有量词的命题的否定进行判断．
②根据基本不等式成立的条件进行判断．
③根据三角函数值的关系以及诱导公式进行判断．
④根据线面平行的判定定理进行判断即可．

解答 解：①命题“存在x＞0，使sinx≤x”的否定是“对任意x＞0，sinx＞x”，正确，故①正确，
②∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
则函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当sinx=$\frac{2}{sinx}$，即sin²x=2，即sinx=$\sqrt{2}$取等号，
但sinx∈（0，1]，故等号取不到，故函数的最小值不是2$\sqrt{2}$，故②错误，
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC是等腰或直角三角形，故③正确，
④若直线m∥直线n，直线m∥平面α，那么直线n∥平面α或n?α．故④错误，
故答案为：①③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，基本不等式，三角函数的运算以及线面平行的判断，知识点较多，难度不大．