Question

4．已知椭圆在x轴两焦点为F₁，F₂，且|F₁F₂|=10，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，△F₁PF₂的面积为6$\sqrt{3}$，求椭圆的标准方程？

Answer 1

分析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，然后利用面积公式结合余弦定理求出2a，再结合隐含条件求出b，则椭圆方程可求．

解答 解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•sin∠{F}_{1}P{F}_{2}=6\sqrt{3}$，
且$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=24，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=76$，
则$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{31}$，即$a=\sqrt{31}$．
又∵c=5，∴b=$\sqrt{6}$，
∴椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{31}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，常采用椭圆定义及余弦定理解决，是中档题．