Question

对于△ABC，有如下几个结论：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若S_n是等比数列{a_n}的前n项和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比数列．
③若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形；
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC是等边三角形；
⑤P在△ABC所在平面内，且

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，则点P是△ABC的垂心．
其中正确的结论序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①若sin2A=sin2B，则2A=kπ+（-1）^k•2B，分别取k=0时，取k=1时，即可判断出；
②S_n是等比数列{a_n}的前n项和，分类讨论：当公比q=1时，S_n=S_2n-S_n=S_3n-S_2n=na₁，即可判断出．
当公比q≠1时，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=qⁿS_n，S_3n-S_2n=q²ⁿS_n，即可判断出；
③若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)＞0，可得A+B=

π

2

或B=π-(

π

2

-A)，即可判断出；
④由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，利用正弦定理可得

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，再利用倍角公式可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

．即可得出A=B=C．
⑤P在△ABC所在平面内，由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

，可得

PB

•(

PA

-

PC

)=

PB

•

CA

=0，可得PB⊥AC．
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，则2A=kπ+（-1）^k•2B，取k=0时，得到A=B，此时三角形ABC是等腰三角形，
取k=1时，A+B=

π

2

为直角三角形，因此①不正确；
②S_n是等比数列{a_n}的前n项和，
当公比q=1时，S_n=S_2n-S_n=S_3n-S_2n=na₁，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比数列．
当公比q≠1时，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=qⁿS_n，S_3n-S_2n=q²ⁿS_n，
因此S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比数列．可知②正确．
③若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)，
∴A+B=

π

2

或B=π-(

π

2

-A)，即A+B=

π

2

，或B=A+

π

2

，
因此△ABC不一定是直角三角形，因此不正确；
④∵

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，∴

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
∴sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

．
∵0＜

A

2

，

B

2

，

C

2

＜

π

2

，
∴

A

2

=

B

2

=

C

2

，即A=B=C．
∴△ABC是等边三角形，因此正确；
⑤P在△ABC所在平面内，由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

，可得

PB

•(

PA

-

PC

)=

PB

•

CA

=0，∴

PB

⊥

AC

，∴PB⊥AC．
即点P在边AC的高线上，同理点P在边AB的高线上，点P在边BC的高线上，
∴点P是△ABC的垂心．因此正确．
综上可知：正确答案为②④⑤．

点评：本题综合考查了解三角形、正弦定理、倍角公式、诱导公式、等比数列及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．