题目内容
已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，
证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.
证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.
证明略
证明:(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有
4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4
4+b>02|a|＜4+b
(2)必要性:
由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.
∵α，β是方程f(x)=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有
4+b>2a>－(4+b)又|b|＜4
4+b>02|a|＜4+b(2)必要性:
由2|a|＜4+b
f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.
∵α，β是方程f(x)=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.
练习册系列答案
相关题目
的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
时，对任意
恒成立，试求m的取值范围。
的取值范围，使关于
的方程
，
，且满足
；
对一切实数
均有
成立，
.
的值；
恒成立时，求
的取值范围
的值域是( )
是定义在
上的奇函数，且
，若
、
，有
；
对所有的
的取值范围。
立方米，深为
米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米
元，池底的造价为每平方米
元，把总造价
（元）表示为底面一边长
（米）的函数。