Question

求实数的取值范围，使关于的方程
⑴有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
⑵有两个实数根，且都比1大；
⑶有两实数根，，且满足；
⑷至少有一个正根．

Answer 1

（1）（2） （3）  （4）

设，它的图象是一条开口向上的抛物线．
⑴如果函数在时的值小于零，那么抛物线就一定和轴有两个不同的交点，而且交点的横坐标一个比2大，一个比2小，于是由，即，使得．
⑵两个根都比1大的条件是
即
解得．
⑶两实数根，满足的条件是
即
解得．
⑷方程至少有一个正根有三种可能：
（Ⅰ）有两个正根，此时应有
即
．
（Ⅱ）有一个正根，一个负根，此时应有，解得．
（Ⅲ）有一个正根，另一根为零，此时利用韦达定理可知
，
综合上述三种情况，得．