Question

已知等比数例{a_n}的公比q＞1，a₁，a₂是方程x²-3x+2=0的两根，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2n•a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，易求a₁=1，a₂=2，从而得q=2，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知2n•a_n=n•2ⁿ，S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{2n•a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）方程x²-3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分）
依题意得a₁=1，a₂=2，…（2分）
所以q=2，…（3分）                               
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；…（4分）
（2）由（1）知2n•a_n=n•2ⁿ，…（5分）
所以S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
2•S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：
-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，…（8分）
即-S_n=

2-2n•2

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，…（11分）
所以S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（12分）

点评：本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基本知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．