Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过右焦点F且斜率为l的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在θ∈[0，2π），使得

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由

c

a

=

6

3

，可得a²=3b²．从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²．右焦点F（

2

b，0），直线AB所在的直线方程为：y=x-

2

b．与椭圆方程联立化为4x2-6

2

bx+3b2=0．（*）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），利用中点坐标公式与斜率计算公式即可得出．
（2）利用平面向量基本定理、根与系数的关系、点与椭圆的位置关系即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆的焦距为2c，
∵

c

a

=

6

3

，
∴

a2-b2

a2

=

2

3

，
化为a²=3b²．
从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²．
右焦点F（

2

b，0），直线AB所在的直线方程为：y=x-

2

b．
联立

y=x- 2 b x2+3y2=3b2

，化为4x2-6

2

bx+3b2=0．（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），
∴x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
∴k_ON=

y0

x0

=-

1

3

，即为所求．
（2）显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，
使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：
（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又∵点M在椭圆C上，
∴有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b²整理可得：
λ2(

x

2 1

+3

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+3

y

2 2

)+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．（**）
由（*）有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1x2=

3b2

4

．
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x₁x₂-3

2

b(x1+x2)+6b²，
又点A，B在椭圆C上，
∴

x

2 1

+3

y

2 1

=

x

2 2

+3

y

2 2

=3b²．
代入（**）可得：λ²+μ²=1．
∴对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．且λ²+μ²=1．
∴存在θ∈[0，2π]，使得λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

点评：本题考查了椭圆及圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式与斜率计算公式、平面向量基本定理、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．