Question

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）

Answer 1

考点：频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；
（Ⅱ）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；
（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列与期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；    …（2分）
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为
P=

2

5

；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=

C

0 3

•(

2

5

)0•(

3

5

)3=

27

125

；
P（X=1）=

C

1 3

(

2

5

)1•(

3

5

)2=

54

125

；P（X=2）=

C

2 3

•(

2

5

)2•(

3

5

)1=

36

125

；
P（X=3）=

C

3 3

•(

2

5

)3•(

3

5

)0=

8

125

；
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

…（12分）
所以 E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

； …（13分）
（或X～B（3，

2

5

），
∴E（X）=np=3×

2

5

=

6

5

．

点评：本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目．