Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，4）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$）∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角θ的值．
（2）根据两个向量垂直、平行的性质，求得$\overrightarrow{c}$的坐标．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（-3，4）$，∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（-2，6）$，∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（4，-2）$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-20$，∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{（-2{）^2}+{6^2}}=2\sqrt{10}$，∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}$．
设$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为θ，则$cosθ=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|．|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=\frac{-20}{{2\sqrt{10}×2\sqrt{5}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{3π}{4}$．
（II）设$\overrightarrow c=（x，y）$，则$\overrightarrow c+\overrightarrow a=（x+1，y+2）$，∵$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$）∥$\overrightarrow{b}$，∴$\left\{\begin{array}{l}-2x+6y=0\\-3（y+2）-4（x+1）=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$，即$\overrightarrow c=（-2，-\frac{2}{3}）$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直、平行的性质，属于基础题．