Question

14．已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为${x^2}+{（{y-\frac{7}{4}}）^2}=\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．

Answer 1

分析 连接MB，MQ，设P（x，y），Q（|a|，0），点M、P、Q在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，联立消去a，求得x和y的关系式，根据图形可知y＜2，进而可求得动弦AB的中点P的轨迹方程．

解答 解：连接MB，MQ，设P（x，y），Q（|a|，0），点M、P、Q在一条直线上，
得$\frac{2}{-a}$=$\frac{y-2}{x}$．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$•$\sqrt{{a}^{2}+4}$=1．②
由①及②消去a，可得x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$和x²+（y-$\frac{9}{4}$）²=$\frac{1}{16}$．
又由图形可知y＜2，
因此x²+（y-$\frac{9}{4}$）²=$\frac{1}{16}$舍去．
因此所求的轨迹方程为x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．
故答案为：x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理．