某工厂在2013年底投入100万元.购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是1万元.此外每年都要花费一定的维护费.第一年的维护费为2万元.由于设备老化.以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x(x∈N*)年的总费用为y．(1)将y表示成x的函数(总费用=购入费用+运转费用+维护费用),(2)求该设备的最佳使用年限(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N^*）年的总费用为y（万元）．
（1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；
（2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．

分析（1）由题意可知，使用该设备x年的运转费用是x万元，且每年的维护费是首项为2，公差也是2的等差数列，可得y=100+x+（2+4+6+…+2x）；
（2）求平均费用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$，构造函数$设g（x）=x+\frac{100}{x}+2（x＞0）$，通过导数求出函数g（x）的极值，进而求出x值．

解答解：（Ⅰ）该工厂使用该设备x年的运转费用是x万元，且每年的维护费是首项为2，公差也是2的等差数列．所以该工厂使用该设备的总费用为：y=100+x+（2+4+6+…+2x）=$100+x+\frac{x（2+2x）}{2}$=x²+2x+100（x∈N^*）
（Ⅱ）使用该设备年平均费用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$.$设g（x）=x+\frac{100}{x}+2（x＞0）$，则$g'（x）=1-\frac{100}{x^2}=\frac{（x+10）（x-10）}{x^2}$．
令g'（x）=0，得x=10（负值舍去）．
从而，当0＜x＜10时，g'（x）＜0；当x＞10时，g'（x）＞0．
所以，g（x）在（0，10）上递减，在（10，+∞）上递增．当x=10时，g（x）有最小值．
即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．
另法：使用该设备年平均费用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$≥$2\sqrt{x•\frac{100}{x}}+2=22$（万元）
当且仅当$x=\frac{100}{x}$，即x=10时取等号．
即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．

点评考查了导数在实际问题中的应用，难点是理解题意，正确列出表达式．