题目内容
在△ABC中，∠C=90°，点M满足
=3
，则sin∠BAM的最大值是 ．
| BM |
| MC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），求出
•
，利用数量积公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，
sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．
| AM |
| AB |
sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．
解答：
解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，
设B（4a，0），A（0，b），
∵
=3
，
∴M（a，0），
∴
•
=（a，-b）•（4a，-b）=4a2+b2，
∵|
=
，|
|=
∴cos∠BAM=
=
≥
=
∴cos∠BAM最小值为
，
∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，
∴sin∠BAM的最大值是为
．
设B（4a，0），A（0，b），
∵
| BM |
| MC |
∴M（a，0），
∴
| AM |
| AB |
∵|
| AM| |
| a2+b2 |
| AB |
| 16a2+b2 |
∴cos∠BAM=
| 4a2+b2 | ||||
|
=
| 4a2+b2 | ||
|
≥
| 4a2+b2 | ||||
|
=
| 4 |
| 5 |
∴cos∠BAM最小值为
| 4 |
| 5 |
∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，
∴sin∠BAM的最大值是为
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查通过结论坐标系解决向量问题；利用基本不等式求最值，属于一道中档题．
练习册系列答案
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已知命题p：y=cosx是偶函数，命题q：?x∈R，sinx=2，则下列判断正确的是（ ）
| A、￢p是真命题 |
| B、￢q是假命题 |
| C、p∧q是真命题 |
| D、￢p∨q是假命题 |
函数f（x）=cos2x+sinx，那么下列命题中假命题的是（ ）
| A、f（x）在[-π，0]上恰有一个零点 | ||||
| B、f（x）既不是奇函数也不是偶函数 | ||||
| C、f（x）是周期函数 | ||||
D、f（x）在区间（
|