Question

设函数f（x）=lnx+

m

x

，m∈R．
（1）若函数g（x）=f′（x）-

x

3

只有一个零点，求m的取值范围；
（2）若对于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=lnx+

m

x

，求出函数g（x）=f′（x）-

x

3

的解析式，进而根据函数g（x）=f′（x）-

x

3

只有一个零点，求得m的取值范围；
（2）若对于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，则f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

＜1在（0，+∞）上恒成立，即x²-x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lnx+

m

x

，（x＞0），
∴g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

-x3+3x-3m

3x2

，（x＞0），
若g（x）只有一个零点，则h（x）=-x³+3x-3m，（x＞0）只有一个零点，
∵h′（x）=-3x²+3=0时，x=1，或x=-1（舍去），
故当x=1时，h（x）取极大值-3m+2，
若h（x）=-x³+3x-3m只有一个零点，
则-3m-2＞0，
解得：m＜-

2

3

（2）若对于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，
则f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

＜1在（0，+∞）上恒成立，
即x²-x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，
由y=x²-x+m的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线，
故

4m-1

4

＞0，
解得：m＞

1

4

．

点评：本题考查的知识点是函数的零点，函数求导，函数恒成立，导数的几何意义，是导数与零点的综合应用，难度中档．