Question

16．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，圆x²+y²=$\frac{12}{7}$与直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1相切，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（-4，0）任作一直线l交椭圆C于M，N两点，记$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，若在线段MN上取一点R，使得$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，求得3a²=4b²，根据点到直线的距离公式可知：$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）设直线方程为y=k（x+4），代入椭圆，求得${x_1}+{x_2}=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，由向量的坐标表示．$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，求得$λ=-\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}$．，$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，代入即可求得R的横坐标．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴3a²=4b²，
由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
解得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），
并设M（x₁，y₁），M（x₂，y₂），联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$，
消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k-12=0，则△=144（1-4k²）＞0，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$
由$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，得-4-x₁=λ（x₂+4），故$λ=-\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}$．
设点R的坐标为（x₀，y₀），则由$\overrightarrow{MR}=-λ•\overrightarrow{RN}$，得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得：${x_0}=\frac{{{x_1}-λ{x_2}}}{1-λ}=\frac{{{x_1}+\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}•{x_2}}}{{1+\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}}}=\frac{{2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）+8}}$
又$2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）=2×\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}+4×\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{-24}{{3+4{k^2}}}$，
$（{x_1}+{x_2}）+8=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+8=\frac{24}{{3+4{k^2}}}$，从而${x_0}=\frac{{2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）+8}}=-1$，
故点R在定直线x=-1上．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示的综合应用，考查计算能力，属于中档题．