Question

过抛物线y²=3x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设坐标原点为O，若S_△AOF=3S_△BOF，则|AB|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据对称性可设直线的AB的斜率为锐角，利用S_△AOF=3S_△BOF，求得y_A=-3y_B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，进而求得利用

yA

yB

+

yB

yA

求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．

解答： 解：设直线的AB的斜率为锐角，
∵S_△AOF=3S_△BOF，
∴y_A=-3y_B，
∴设AB的方程为x=my+

3

4

，与y²=3x联立消去x得，
4y²-12my-9=0，
∴y_A+y_B=3m，y_Ay_B=-

9

4

∴

yA

yB

+

yB

yA

=

(yA+yB)2-2yAyB

yAyB

=

(yA+yB)2

yAyB

-2=

9m2

- 9 4

-2=-3-

1

3

，
∴m²=

1

3

，
∴|AB|=

1+m2

•

(yA+yB)2-4yAyB

=4

点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．