Question

2．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，f（x）＞0．
①f（1）=0；  
②f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
③若f（2）=1，不等式f（x+2）-f（2x）＞2的解集为（0，$\frac{2}{7}$）；    
④f（x）在（0，+∞）上单调递减；
⑤f（$\frac{m+n}{2}$）≥$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．
以上说法正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据函数的定义，利用特殊值的方法可得出①②③④，根据函数的定义可知f（m）=f（$\sqrt{m}$）+f（$\sqrt{m}$），利用均值定理可得出结论．

解答 解：①令m=n=1，
∴f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，故正确；  
②f（m）=f（$\frac{m}{n}$×n）=f（$\frac{m}{n}$）+f（n）
∴f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n），故正确；
③∵f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n），
当m＞n时，f（m）-f（n）=f（$\frac{m}{n}$）＞0，
故函数为增函数，
若f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x+2）-f（2x）＞2，
∴x的范围为（0，$\frac{2}{7}$），故正确；    
④由上面可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，故错误；
⑤函数为增函数，
∴f（$\frac{m+n}{2}$）=f（$\frac{m}{2}$+$\frac{n}{2}$）≥f（$\sqrt{mn}$）=f（$\sqrt{m}$）+f（$\sqrt{n}$）=$\frac{f（m）+f（n）}{2}$，故正确，
故选D．

点评 考查了抽象函数的定义，性质和应用，类比对数函数思考问题．