Question

15．在平向直角坐标系中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0≤α＜π），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4cosθ
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求tanα

Answer 1

分析 （I）曲线C：ρ=4cosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．
（II）把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0≤α＜π）代入曲线C的直角坐标方程可得：t²+2tsinα-3=0，由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，可得t₁=-2t₂．再利用根与系数的关系及其三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（I）曲线C：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
可得：x²+y²=4x．
（II）把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0≤α＜π）代入曲线C的直角坐标方程可得：t²+2tsinα-3=0，
∴t₁+t₂=-2sinα，t₁t₂=-3．
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，∴t₁=-2t₂．
联立可得：sin²α=$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3}{8}$，解得tan²α=$\frac{3}{5}$．
∵0≤α＜π，
∴tanα=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．