Question

7．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=120°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）若（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$ 的值．
（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k²•a²-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，由此求得k的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=120°，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•2•cos120°=-1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1-2+4}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k²•${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=k²-4=0，
∴k=±2．

点评 本题主要考查两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．