Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

an

2n-1

}的前n项和为S_n，求证：S_n＜6．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果

解答： 解：（1）数列{a_n}为等差数列，
所以：a₂=a₁+d=a₁+2，a₄=a₁+3d=a₁+6
a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列．
所以：(a1+a2)2=2a1(a1+a4)
解得：a₁=1
所以：a_n=1+2（n-1）=2n-1
证明：（2）已知

an

2n-1

=

2n-1

2n-1

Sn=

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

①

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-1

2n

 ②
①-②得：

1

2

Sn=1+2(

1

21

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=3-(

4

2n

+

2n-1

2n

)=3-

2n+3

2n

所以：Sn=6-

2n+3

2n-1

由于n≥1
所以：

2n+3

2n-1

＞0
Sn=6-

2n+3

2n-1

＜6

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．