Question

在直角坐标系中，已知B（2，0），C（2，1），D（0，1），若P在△BCD内部和边界上运动，

OP

=α

OB

+β

OD

（α，β都是实数），则2α-β的取值范围是（　　）

• A、[-1，2]
• B、[-1，3]
• C、[-2，3]
• D、[0，2]

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：由已知条件得到P所满足的约束条件，由

OP

=α

OB

+β

OD

得到

x=2α y=β

，代入约束条件得到

0≤α≤1 0≤β≤1 α+β≥1

，然后利用线性规划知识求解．

解答： 解：由题意可知，点P（x，y）的约束条件为

0≤x≤2 0≤y≤1 1 2 x+y≥1

，

OP

=(x，y)，

OB

=(2，0)，

OD

=(0，1)，
由

OP

=α

OB

+β

OD

，得（x，y）=α（2，0）+β（0，1），得

x=2α y=β

，
代入约束条件得

0≤α≤1 0≤β≤1 α+β≥1

，作可行域如图，

令t=2α-β，
当直线t=2α-β通过M（1，0）时目标函数求得最大值为2；
当直线t=2α-β通过N（0，1）时目标函数求得最小值为-1．
从而2α-β的取值范围为[-1，2]．
故选：A．

点评：本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．