Question

已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合

与在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；

(2)若，求椭圆的离心率；

(3) 点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

Answer 1

 解：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为

 ∵△是边长为的正三角形，

∴点A的坐标是，

代入抛物线的方程解得，

故所求抛物线的方程为

（2）∵, ∴ 点的横坐标是

代入椭圆方程解得，即点的坐标是        

∵ 点在抛物线上，

∴，                                   

将代入上式整理得：，

即，解得                        

∵ ，故所求椭圆的离心率。           

（3）证明：设，代入椭圆方程得

                       

而直线的方程为       

令得。                      

在中，以代换得    

∴