Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），其f（x）=$\frac{2x}{x+1}$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的一个通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a，a₂=f（a₁）=$\frac{2a}{a+1}$，a₃=f（a₂）=$\frac{4a}{3a+1}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{8a}{7a+1}$；
（2）由（1）可知，根据前n项猜想数列{a_n}的一个通项公式：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}a}}{{（{{2^{n-1}}-1}）a+1}}（{n∈{N^*}}）$．

解答 解：（1）a₁=a，a₂=f（a₁）=$\frac{2a}{a+1}$，
a₃=f（a₂）=$\frac{4a}{3a+1}$，
${a_4}=f（{a_3}）=\frac{8a}{7a+1}$；…6分
（2）根据（1）猜想{a_n}的一个通项公式：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}a}}{{（{{2^{n-1}}-1}）a+1}}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查数列与函数的应用，利用函数的解析求函数的通项公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．