Question

20．过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AF⊥BF，且该椭圆的离心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，则θ的取值范围为$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$．

Answer 1

分析 设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，推导出$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}$，由此根据该椭圆的离心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，能求出θ的取值范围．

解答 解：设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，
∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，
∵∠BAF=$\frac{1}{2}$θ，∴AF=2c•cos$\frac{θ}{2}$，BF=2c•sin$\frac{θ}{2}$，
∴2csin$\frac{θ}{2}$+2ccos$\frac{θ}{2}$=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}$，
∵该椭圆的离心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}≤\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵θ∈[0，π），∴$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{5π}{6}$．
∴θ的取值范围是[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
故答案为：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

点评 求椭圆离心率的范围首先要根据椭圆的几何性质找到关于a，b，c的关系式，求解即可得到离心率范围．