Question

10．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线y=$\frac{1}{2}$被椭圆E截得的线段长为$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E两个不同的点A，B关于直线y=mx+$\frac{1}{2}$对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设得，椭圆过点$（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，代入椭圆方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知m≠0，可设直线AB的方程为$y=-\frac{1}{m}x+b$．代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点$（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{{2{a^2}}}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知m≠0，可设直线AB的方程为$y=-\frac{1}{m}x+b$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x+b}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消去y得$（\frac{1}{2}+\frac{1}{m^2}）{x^2}-\frac{2b}{m}x+{b^2}-1=0$•
因为直线y=mx+$\frac{1}{2}$与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有两个不同交点，
所以$△=-2{b^2}+2+\frac{4}{m^2}＞0$•①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理知，${x_1}+{x_2}=\frac{4mb}{{{m^2}+2}}$，
于是线段AB的中点坐标为$M（\frac{2mb}{{{m^2}+2}}，\frac{{{m^2}b}}{{{m^2}+2}}）$，
将其代入直线$y=mx+\frac{1}{2}$，解得$b=-\frac{{{m^2}+2}}{{2{m^2}}}$②
将②代入①，得$\frac{1}{m^4}-\frac{1}{m^2}-\frac{3}{4}＜0$，
解得$m＜-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或$m＞\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                     
因此，所求实数m的取值范围$（-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，+∞）$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用对称性，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题．