Question

已知函数f（x）=

a

3

x³+x²-2ax-1，f′（-1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=ax²+2x-2a，且f′（-1）=0，得a=-2，从而f′（x）=-2x²+2x+4=-2（x+1）（x-2），得（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递减，在（-1，2）上单调递增，
（Ⅱ） 因为对于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，即bx+3≥-

2

3

x³+x²+4x-1，得b≤-

2

3

x²+x+4-

4

x

，设h（x）=-

2

3

x²+x+4-

4

x

，从而h′（x）=-

4

3

x+1+

4

x2

，
又x∈[-2，）），得h′（x）＞0，从而h（x）在[-2，0）上单调递增，进而b≤

4

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax²+2x-2a，且f′（-1）=0，
∴a=-2，
∴f′（x）=-2x²+2x+4=-2（x+1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=2，
随着x的变化，f′（x）和f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

即f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递减，在（-1，2）上单调递增，
（Ⅱ） 因为对于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，
即bx+3≥-

2

3

x³+x²+4x-1，
∴b≤-

2

3

x²+x+4-

4

x

，
设h（x）=-

2

3

x²+x+4-

4

x

，
∴h′（x）=-

4

3

x+1+

4

x2

，
又∵x∈[-2，）），
∴-

4

3

x＞0，

4

x2

＞0，
∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[-2，0）上单调递增，
∴h（x）_min=h（-2）=

4

3

，
∴b≤

4

3

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，参数的取值，考查导数的应用，是一道综合题．