Question

4．已知cosα=-$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．求：
（Ⅰ）sin（α-$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本小题满分8分）
解：（Ⅰ）∵cosα=-$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，…（2分）
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，…（5分）
（Ⅱ）cos2α=2cos²α-1=$\frac{7}{25}$…（8分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．