Question

3．.已知二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），且f（x）=0的两根积为3，f（x）的图象过（0，3），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x）可知f（x）的对称轴为x=2，故设f（x）=a（x-2）²+b，再根据f（x）=0的两根积为3，且f（x）的图象过（0，3），可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=3}\\{f（0）=3}\end{array}\right.$，求出a，b的值，从而得到函数的解析式．

解答 解：∵二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），
∴f（x）的对称轴方程为x=2，
故设f（x）=a（x-2）²+b=ax²-4ax+4a+b，
∵f（x）=0的两根积为3，且f（x）的图象过（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4a+b}{a}=3}\\{f（0）=4a+b=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
故f（x）=x²-4x+3．

点评 本题考查利用函数的对称性求二次函数的解析式问题，是一道基础题．