Question

4．双曲线与椭圆$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1有共同的焦点，点P（3，4）在双曲线的渐近线上，求双曲线的标准方程和离心率．

Answer 1

分析 设出双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），依题意，利用椭圆$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1的方程可求得其焦点坐标，即为所求双曲线的焦点坐标，再利用点P（3，4）在双曲线的渐近线上，联立即可求双曲线的标准方程和离心率．

解答 解：∵椭圆$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1中a²=40，b²=15，
∴c²=a²-b²=25，
∴其焦点为分别为F₁（0，5），F₂（0，-5），
设双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
依题意，m²+n²=25，①
又点P（3，4）在双曲线的渐近线y=$\frac{m}{n}$x上，
∴4n=3m，②
由①②解得：m=4，n=3．
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
其离心率为e=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．