Question

13．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧$\widehat{AC}$上的点（不与点A、C重合），延长AD交BC的延长线于F．
（Ⅰ）求证：∠CDF=∠ADB；
（Ⅱ）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

分析 （I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．

解答 证明：（I）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC．
∵A，B，C，D四点共圆，则∠CDF=∠ABC，
∴∠CDF=∠ACB，
又∠ACB=∠ADB，
∴∠CDF=∠ADB．
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，
∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB．
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，∴AB²=AD•AF．
∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，
根据割线定理DF•AF=FC•FB，
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

点评 本题考查了圆的性质、相似三角形的性质、割线定理、等腰三角形的性质、四点共圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．