Question

已知f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3），若x∈（2π，3π），求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简解析式可得f（x）=1-3

2

cos（x-

π

4

），由x∈（2π，3π），有设t=x-

π

4

，t∈（

7π

4

，

11π

4

），根据三角函数的单调性即可求f（x）的单调区间．

解答： 解：f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）
=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx
=1-3（cosx+sinx）
=1-3

2

cos（x-

π

4

）
∵x∈（2π，3π），
∴设t=x-

π

4

，t∈（

7π

4

，

11π

4

），
∵当x∈（2π，3π）时，3

2

cost在区间t∈（

7π

4

，

9π

4

）上是单调递增的，
∴当x∈（2π，3π）时，f（x）的单调递减区间是（

7π

4

，

9π

4

）．
∵当x∈（2π，3π）时，3

2

cost在区间t∈（

9π

4

，

11π

4

）上是单调递减的，
∴当x∈（2π，3π）时，f（x）的单调递增区间是（

9π

4

，

11π

4

）．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数基本关系的运用，三角函数值域的解法，综合性强，属于中档题．