Question

19．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：BD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥平面ABCD得SA⊥BD，由正方形性质得出AC⊥BD，于是BD⊥平面SAC．
（2）根据V_A-SBD=V_S-ABD列方程求出点A到平面SBD的距离．

解答 证明：（1）∵SA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
又SA?平面SAC，AC?平面SAC，SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC．
（2）设AC，BD交与点O，连结SO．
∵正方形ABCD边长为2，SA=4，
∴BD=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$，SB=2$\sqrt{3}$，
∴SO=$\sqrt{S{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
S_△SBD=$\frac{1}{2}BD•SO$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$．
设A到平面SBD的距离为d，
则V_A-SBD=$\frac{1}{3}{S}_{△SBD}$•d=$\frac{2\sqrt{5}d}{3}$．
又V_A-SBD=V_S-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×4$=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}d}{3}$=$\frac{8}{3}$，解得d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴点A到平面SBD的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．