Question

抛物线x²=4y的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆时针方向旋转t₁秒后，恰好与抛物线第一次相交于一点，再旋转t₂秒后，恰好与抛物线第二次相相交于一点，则t₂的值为（　　）

• A、6
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的方程，找出p的值，进而得到其准线方程和P的坐标，根据直线l过P点，设出直线l的斜率为k时与抛物线相切，表示出此时直线l的方程，与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l的倾斜角，用求出的倾斜角除以角速度即可求出此时所用的时间t₁=3．同理，旋转t₂秒后，恰好与抛物线第二次相相交于一点，则t₂=3．

解答： 解：根据抛物线的方程x²=4y，得到p=1，
所以此抛物线的准线方程为y=-1，P坐标为（0，-1），
令恒过P点的直线y=kx-1与抛物线相切，
联立直线与抛物线，消去y得：x²-4kx+4=0，得到△=k²-1=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直线l绕点P逆时针旋转，k=-1不合题意，舍去，
则k=1，此时直线的倾斜角为

π

4

又P的角速度为每秒

π

12

弧度，
所以直线l恰与抛物线第一次相切，则t₁=3．
同理，旋转t₂秒后，恰好与抛物线第二次相相交于一点，则t₂=3，
故选C．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的简单性质，直线与曲线相切位置关系的应用，解题的一般式步骤是；设出直线的方程，联立直线与曲线方程，整理可得一元二次方程，方程判别式等于0，求解参数的值．