Question

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*．
（1）记函数F（x）=bf₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值为6，求实数b的值；
（2）对于（1）中的b，设函数g（x）=（

b

3

）^x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数g（x）图象上两点，若g'（x₀）=

y2-y1

x2-x1

，试证明x₀＜x₂．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知可求得：F′（x）=b-

3

x

，x∈（0，e]，讨论：①若b≤

3

e

，则F′（x）=b-

3

x

≤0，可得F（x）_min=F（e）=be-3，由F（e）=6得b=

9

e

（舍去）．②若b＞

3

e

，F′（x）=

b

x

(x-

3

b

)，令F′（x）=0得x=

3

b

，F（x）_min=F（

3

b

）=3-3ln

3

b

，由f（

3

b

）=6得b=3c．
（2）由g（x）=e^x转化为证明e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0．设φ（x）=e^x-e^x（x-x₁）-e x1，则 φ′（x）=-e^x（x-x₁），可证φ（x₂）＜0，从而得证．

解答： 解：（1）F（x）=bx-3lnx，F′（x）=b-

3

x

，x∈（0，e]，…1分
①若b≤

3

e

，则F′（x）=b-

3

x

≤0，F（x）在（0，e）上单调递增，F（X）_min=F（e）=be-3，
由F（e）=6得b=

9

e

（舍去）…3分
②若b＞

3

e

，F′（x）=

b

x

(x-

3

b

)，令F′（x）=0得x=

3

b

，
当x∈（0，

3

b

）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，

3

b

）上单调递减；
当x∈（

3

b

，e）时，F′（x）＞0，F（x）在（

3

b

，e）上单调递增；
F（x）_min=F（

3

b

）=3-3ln

3

b

，由f（

3

b

）=6得b=3c…6分
综上所述，b=3e…7分
（2）g（x）=e^x，故只需证

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2…9分
即证：e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0…10分
设φ（x）=e^x-e^x（x-x₁）-e x1，则 φ′（x）=-e^x（x-x₁），当x≥x₁时，φ′（x）≤0，
∴φ（x）在[x₁，+∞）上是减函数…12分
∴x₁＜x₂
∴φ（x₁）＞φ（x₂），而φ（x₁）=0，
即有e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0，得证…14分

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．