Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=S_n+2，则满足$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$的n的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形为S_n+1=2S_n+2，构造出数列{S_n+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得S_n，代入$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$得答案．

解答 解：由a_n+1=S_n+2，得S_n+1-S_n=S_n+2，
∴S_n+1=2S_n+2，则S_n+1+2=2（S_n+2），
∵S₁+2=a₁+2=3，
∴数列{S_n+2}构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
则${S}_{n}+2=3•{2}^{n-1}$，即${S}_{n}=3•{2}^{n-1}-2$
由$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$，得$\frac{3•{2}^{n-1}-2}{3•{2}^{2n-1}-2}$＜$\frac{1}{10}$，得2²ⁿ-10•2ⁿ+12＞0，
解得：${2}^{n}＜5-\sqrt{13}$（舍），或${2}^{n}＞5+\sqrt{13}$．
∴n的最小值为4．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．