Question

12．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=$\sqrt{3}$a．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，a²+b²=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$2sinCsinA=\sqrt{3}sinA$，结合sinA≠0，可求sinC的值，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．
（2）由已知及余弦定理可求ab=2，利用三角形的面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）∵$2csinA=\sqrt{3}a$，
∴$2sinCsinA=\sqrt{3}sinA$，…2分
在锐角△ABC中，$A，C∈（0，\frac{π}{2}）$，…3分
故sinA≠0，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$C=\frac{π}{3}$．…5分
（2）∵$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$，…6分
∴$\frac{1}{2}=\frac{6-4}{2ab}$，即ab=2，…8分
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．