Question

5．如图，已知点C是以AB为直径的圆O上一点，CG垂直于AB，垂足为G，过B点做圆O的切线，交直线AC于点D，点E是CG的中点，连接并延长AE交BD于点F，求证：
（1）AE•DF=CE•AF；
（2）CF是圆O的切线．

Answer 1

分析 （1）证明△ACE∽△ADF，即可证明AE•DF=CE•AF；
（2）证明∠FCB+∠OCB=90°，即可证明CF是圆O的切线．

解答 证明：（1）由题知DB⊥AB，CG⊥AB，∴CG∥BD，△ACE∽△ADF，
有$\frac{AE}{AF}=\frac{CE}{DF}$，即AE•DF=CE•AF…（5分）
（2）连接OC和CB，由（1）知$\frac{AE}{AF}=\frac{CE}{DF}=\frac{EG}{FB}$，又CE=EG，所以DF=FB，…（7分）
在RT△DCB中，F为BD中点，FC=FB，
所以∠FCB=∠FBC，
又∠OCB=∠OBC，∠FBC+∠OBC=90°，所以∠FCB+∠OCB=90°，
即CF是圆O的切线…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定，考查圆的切线的证明，属于中档题．