题目内容
14．已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+1=an+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，数列{bn}满足bn=$\frac{{a}_{n}}{n}$（Ⅰ）证明：bn∈（0，1）
（Ⅱ）证明：$\frac{\frac{1}{{b}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{b}_{n}}-1}$=$\frac{{b}_{n}+n+1}{{b}_{n}+n}$
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有an$＜\frac{11}{6}$．
分析 （Ⅰ）由已知bn=$\frac{{a}_{n}}{n}$和an+1=an+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，得到${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{（n+1）}$，然后利用数学归纳法证明0＜bn＜1；
（Ⅱ）把${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{n+1}$变形得$\frac{1}{{b}_{n+1}}=\frac{n+1}{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}$，求得$\frac{1}{{b}_{n+1}}-1=\frac{n+1-{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}$，进一步整理得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论得到$\frac{1}{{b}_{n}}-1=（\frac{1}{{b}_{1}}-1）•\frac{{b}_{1}+2}{{b}_{1}+1}•\frac{{b}_{2}+3}{{b}_{2}+2}…\frac{{b}_{n-1}+n}{{b}_{n-1}+n-1}$，放缩后得到${b}_{n}≤\frac{2}{n+3}$，然后结合${a}_{n+1}={a}_{n}+{{b}_{n}}^{2}$知，当n≥2时，
${a}_{n}={a}_{1}+{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+…+{{b}_{n-1}}^{2}$$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n+2）^{2}}）$，再放大证得答案．
解答 证明：（Ⅰ）由bn=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且an+1=an+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，得$（n+1）{b}_{n+1}=n{b}_{n}+{{b}_{n}}^{2}$，
∴${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{（n+1）}$，下面用数学归纳法证明：0＜bn＜1．
①由a1=$\frac{1}{2}$∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜bk＜1，则${b}_{k+1}=\frac{{b}_{k}（k+{b}_{k}）}{（k+1）}$，
∵0＜bk＜1，∴$0＜\frac{k+{b}_{k}}{k+1}＜1$，则0＜bk+1＜1．
综上，当n∈N*时，bn∈（0，1）；
（Ⅱ）由${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{n+1}$，可得，$\frac{1}{{b}_{n+1}}=\frac{n+1}{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}-1=\frac{n+1-{b}_{n}（n+{b}_{n}）}{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}$=$\frac{（1-{b}_{n}）（1+{b}_{n}+n）}{{b}_{n}（n+{b}_{n}）}$=$（\frac{1}{{b}_{n}}-1）•\frac{{b}_{n}+n+1}{{b}_{n}+n}$．
故$\frac{\frac{1}{{b}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{b}_{n}}-1}=\frac{{b}_{n}+n+1}{{b}_{n}+n}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：$\frac{1}{{b}_{n}}-1=（\frac{1}{{b}_{1}}-1）•\frac{{b}_{1}+2}{{b}_{1}+1}•\frac{{b}_{2}+3}{{b}_{2}+2}…\frac{{b}_{n-1}+n}{{b}_{n-1}+n-1}$
$≥（\frac{1}{{b}_{1}}-1）•\frac{3}{2}•\frac{4}{3}…\frac{n+1}{n}$，
故${b}_{n}≤\frac{2}{n+3}$．
由${a}_{n+1}={a}_{n}+{{b}_{n}}^{2}$知，当n≥2时，
${a}_{n}={a}_{1}+{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+…+{{b}_{n-1}}^{2}$$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n+2）^{2}}）$
$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$=$\frac{1}{2}+4（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}）＜\frac{11}{6}$．
点评 本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．
| A． | $\frac{（π+2）\sqrt{3}}{12}$ | B． | $\frac{（π+1）\sqrt{3}}{12}$ | C． | $\frac{（2π+1）\sqrt{3}}{12}$ | D． | $\frac{（2π+3）\sqrt{3}}{12}$ |
的内角
所对的边分别为
，若
，
，则角
的度数为（ ）
B．
C．
D．